Estudio sobre convergencia y dinámica de los métodos de Newton, Stirling y alto orden

Abstract

Numerosos problemas de la ciencia, la ingeniería o la economía requieren de la búsqueda de soluciones de una ecuación. En muy pocos casos es posible plantear dichos problemas mediante una ecuación lineal, siendo necesario recurrir a ecuaciones o sistemas de orden superior. En contadas ocasiones, es posible determinar una solución de manera exacta. Por lo que es necesario recurrir a técnicas que nos permitan resolver estos problemas. Entre las distintas técnicas encontramos los métodos iterativos que nos permiten encontrar una solución aproximada del problema. Los métodos iterativos generan una sucesión de valores a partir de un punto inicial, que, bajo ciertas condiciones, convergen a la solución buscada. El estudio de la convergencia de los métodos iterativos se basa en la convergencia de la sucesión de valores obtenida usando el método iterativo. Existen distintos tipos de convergencia y su estudio permite caracterizar los métodos iterativos. El orden de convergencia determina la velocidad con la que el método iterativo converge a la solución del problema. Existen métodos iterativos con distinto orden de convergencia y esto nos permite seleccionar el método que mejor se ajuste al problema planteado. Existen otras características de los métodos iterativos que permiten diferenciarlos: el número de puntos necesarios para determinar cada paso de la iteración, el uso de derivadas en los esquemas iterativos o el número de pasos necesarios para determinar el siguiente valor de la iteración. También se pueden distinguir métodos óptimos en función de la conjetura de Kung Traub. La conjetura de Kung Traub viene dada por p<2d-1, siendo p el orden de convergencia y del número de evaluaciones de la función en cada paso de la iteración, siendo métodos óptimos cuando se da la igualdad. El método de Newton ha sido objeto de estudio en numerosas investigaciones. Es un método de orden de convergencia dos, de un paso y óptimo. Sin embargo, como ocurre en todos los métodos iterativos el dominio de convergencia es pequeño, es decir, es necesario conocer con mucha precisión el intervalo donde se encuentra ubicada la solución del problema. Para aumentar el dominio de convergencia se emplean constantes más ajustadas que permiten encontrar la solución con mayor precisión. El método de Stirling es un método con características similares al método de Newton en cuanto a orden de convergencia y coste computacional. Este método suele ser empleado como una alternativa cuando el método de Newton falla. Sin embargo, el método de Stirling no puede ser aplicado en muchos casos debido a la hipótesis contractiva que deben cumplir las funciones no lineales. Para aumentar la aplicabilidad de este método sustituimos la hipótesis contractiva por condiciones más débiles sobre el operador no lineal. Por otra parte, los métodos de Newton y Stirling son métodos de orden bajo y, aunque en la práctica el más usado es Newton, la velocidad de convergencia puede ser considerada lenta. Para resolver este inconveniente se estudia una familia paramétrica de alto orden de convergencia. Cuando se trabaja con métodos iterativos con parámetros es preciso estudiar la estabilidad del método, según los valores de dichos parámetros. La estabilidad se analiza a través de las representaciones gráficas del método iterativo: el plano de parámetros y los planos dinámicos. Debido a la importancia que tienen los métodos iterativos en la resolución de problemas de ingeniería hace que su estudio sea indispensable en educación superior. Teniendo en cuenta el alto componente teórico que presentan los métodos iterativos se usa una herramienta didáctica que permite visualizar el comportamiento dinámico.