Continuïtat respecte el paràmetre de Hurst de les lleis d'alguns funcionals del moviment brownià fraccionari

Résumé

El movimento Browniano fraccionario BH es un proceso Gaussiano introducido por Kolmogorov en 1940 y estudiado con más detalle por Mandelobrot y Van Ness en 1968, Este proceso estocástico que es una generalización del movimiento Browniano estándar se usa en la modelización de ciertos fenómenos en diferentes campos como por ejemplo: la física, la ingeniería, la biología y la economía, entre otros. Esta familia de procesos dependen de un parámetro 0<H<1 y recibe el nombre de parámetro de Hurst. En el caso particular en que H=1/2, tenemos el movimiento Browniano estándar y tiene distintas propiedades, en función de si el parámetro H es mayor o menor que ¿ . Una de las herramientas más importantes para tratar problemas relacionados con este proceso es el cálculo estocástico asociado que necesita, en general, ideas distintas a las usadas en el cálculo estocástico ordinario, ya que los movimientos Brownianos fraccionarios con H distinto de ¿ no son semimartingalas. A partir del desarrollo del cálculo estocástico respecto el movimiento Browniano fraccionario se han estudiado distintos funcionales de este proceso, como por ejemplo el tiempo local i distintos tipos de integrales estocásticas. En estadística, a menudo, se necesita estimar el valor real del parámetro H de un movimento Browniano fraccionario ya que a la práctica, en general, este valor es desconocido. Por otro lado, es fácil comprobar que la familia de movimientos Brownianos fraccionarios converge en ley, en el espacio de funciones continuas, hacia $B^H_0$, cuando H tiende a $H_0$. Teniendo en cuenta este resultado es interesante considerar algunos funcionales del movimento Browniano fraccionario y estudiar si mantienen esta propiedad, es decir, si su ley se mantiene cerca de la del funcional correspondiente para $B^H_0$, cuando H tiende a $H_0$. Además este tipo de resultados justifican de algun modo que se use un movimiento Browniano fraccionario $B^{\hat{H}}$ donde $\hat{H}$ es la estimación del valor real del parámetro H. En este trabajo hemos considerado los funcionales de $B^H$ dados por el tiempo local, las integrales múltiples tipo Itô y Stratonovich de funciones deterministas y la integral simétrica tipo Russo-Vallois de procesos estocásticos no adaptados pero que satisfacen ciertas condiciones de regularidad.