Orbitas periodicas en sistemas diferenciales via la teoria del promedio con especial emfasis en los sistemas hamiltonianos

Résumé

Durante los últimos sesenta años el avance significativo en la comprensión de los sistemas dinámicos descritos por las ecuaciones diferenciales no lineales ha creado un profundo cambio en la visión científica del mundo. Para predecir el comportamiento de estos sistemas dinámicos, los investigadores adoptaron modelos matemáticos procedentes de diferentes campos científicos. Para resolver las ecuaciones diferenciales no lineales creadas por estos modelos, los científicos han buscado nuevas técnicas tanto cualitativas como cuantitativas. Cada día nuevos resultados son aportados y una gran cantidad de técnicas y teorías son desarrolladas. Como es conocido, mediante la integración numérica de las ecuaciones de movimiento se puede observar unas propiedades dinámicas globales. A lo largo de los últimos treinta años, otros métodos han sido ampliamente utilizados para describir las propiedades de la dinámica local de los sistemas Hamiltonianos alrededor de sus puntos de equilibrio y de sus orbitas periódicas. La estabilidad entorno a estos objetos determina el tipo de movimiento en su entorno. Por esta razón esta investigación se centra en la búsqueda analítica de familias de orbitas periódicas de tres sistemas Hamiltonianos procedentes de la dinámica galáctica y de la dinámica atómica. Hasta ahora, la mayoría de estos estudios han sido realizados para sistemas Hamiltonianos gobernados por polinomios cúbicos o de cuarto grado y con dos grados de libertad. En este trabajo se extienden estos estudios previos, analizando tres sistemas Hamiltonianos definidos por un Hamiltoniano polinomial de cuarto y sexto grado con tres grados de libertad. Dos de estos sistemas Hamiltonianos dependen de seis parámetros. El principal objetivo de esta investigación es estudiar analíticamente la existencia de orbitas periódicas a través de la teoría del promedio de primer orden. Denotamos por p_x, p_y, p_z los componentes de los momentos por unidad de masa y por a, b, c, d, e, f parámetros. El primer Hamiltoniano analizado es el Hamiltoniano de Yang--Mills en dimensión 6. Este Hamiltoniano esta formado por un oscilador armónico mas un potencial homogéneo mas general de cuarto grado con monomios formados únicamente por potencias pares y seis parámetros, esto es H=1/2(p_x^2+p_y^2+p_z^2+x^2+y^2+z^2)+1/4(ax^4+2bx^2 y^2+ 2cx^2 z^2+dy^4+2ey^2 z^2+fz^4). El segundo Hamiltoniano es el Hamiltoniano de Friedman-Robertson-Walker. Es frecuente en dinámica galáctica considerar potenciales que presentan una simetría de reflexión respecto a los ejes. En este Hamiltoniano se aplica un cambio respecto al eje x obteniéndose una generalización del Hamiltoniano de Calzeta-Hasi, siendo H=1/2(p_y^2+p_z^2-p_x^2+y^2+z^2-x^2)+1/4(ax^4+2bx^2 y^2+ 2cx^2 z^2+dy^4+2ey^2 z^2+fz^4), Finalmente se estudia un Hamiltoniano con tres osciladores armónicos acoplados conocido como los osciladores elípticos perturbados. Esta formado por un oscilador armónico mas un potencial con un monomio particular de sexto grado, esto es H=1/2(x^2+y^2+z^2+p_x^2+p_y^2+p_z^2)+épsilon(x^2y^2+x^2 z^2+y^2 z^2-x^2y^2z^2), donde épsilon es un pequeño parámetro real positivo. La teoría del promedio de primer orden es el método usado en esta investigación. Esta técnica convierte el problema de encontrar orbitas periódicas de los sistemas diferenciales, en encontrar ceros de algunas funciones adecuadas de dimensión cuatro. Este método proporcionara condiciones sobre los parámetros y también sobre los niveles Hamiltonianos, los cuales garantizan la existencia de soluciones periódicas. Además, se proporcionan estimaciones analíticas de la forma de estas orbitas periódicas.