Pi-complementación y pi-descomponibilidad en el contexto de las álgebras multiplicativamente semiprimas

Resumen

La Teoría General de las álgebras no necesariamente asociativas está muy lejos de tener un desarrollo similar a la Teoría General para las álgebras asociativas, de hecho, sólo en ciertos contextos específicos, tales como las álgebras de Jordan o las álgebras de Lie, este desarrollo es considerable. Nuestro trabajo puede verse como una pequeña contribución, en algunos aspectos que ahora concretaremos, a la construcción de la Teoría General de las álgebras no necesariamente asociativas. Como ejemplo de la diferencia de nivel en el desarrollo de una y otra teoría, baste recordar que toda álgebras asociativa conmutativa sin divisores de cero B puede sumergirse en un cuerpo Q, llamado el cuerpo de fracciones de B. En contexto no necesariamente conmutativo, W. Martindale, construyó el álgebra simétrica de cocientes que, para el estudio de ciertas propiedades, puede jugar un papel similar al del cuerpo de fracciones. Pues bien, a lo largo de los últimos años ha habido numerosos intentos de construir álgebras de cocientes en contexto no asociativo, sin que se haya encontrado una generalización plena a nivel general. Pese a este fracaso, la importancia del centro del álgebra simétrica de cocientes (llamado centroide extendido), y de la subálgebra del álgebra simétrica de cocientes generada por el álgebra de partida sobre el centroide extendido (llamada clausura central), obligó a renovar los esfuerzos en la búsqueda de los correspondientes conceptos en contexto no asociativo. Estos esfuerzos culminaron con la introducción del centroide extendido y de la clausura central por parte de T. S. Erickson, W. S. Martindale y J. M. Osborn en contexto no asociativo primo, y más tarde de W. E. Baxter y del propio W. S. Martindale en el caso semiprimo. El hilo conductor de nuestro trabajo está en el establecimiento de una biyección entre los idempotentes del centroide extendido y los ideales pi-cerrados, resultado que llamamos pi-Teorema. Un ideal (bilátero) de un álgebra A es un subespacio vectorial I de A tal que AI e IA están en I. Para cada ideal I, al mayor ideal J que cumple la condición IJ=JI=0 se le conoce con el nombre de Anulador de I, Ann(I). Un ideal I se dice pi-cerrado cuando I=Ann(Ann(I)). El trabajo desarrollado en la presente memoria está estructurado en siete capítulos. El primero de ellos introduce el concepto de pi-cierre y resolvemos el primero de los objetivos, a saber, la relación de la posible semiprimidad de un álgebra con la semiprimidad de su unitización, de su álgebra de multiplicación, sus cocientes y sus ideales respectivamente. En el segundo capítulo se analizan las carencias del pi-cierre (por ejemplo , la semiprimidad no se herede para ideales pi-cerrados) y se introduce una nueva clausura algebraica. Dando así entrada al concepto de ideal complementadamente denso, que si hereda la semiprimidad. El tercer capítulo está dedicado al estudio de la clausura central y del centroide extendido. Ambos conceptos son caracterizados axiomáticamente. Como consecuencia calculamos la clausura central y el centroide extendido de la unitización y del álgebra de multiplicación supuestos conocidos los del álgebra de partida. El cuarto capítulo está dedicado al pi-Teorema . Como consecuencia , establecemos sendas caracterizaciones de la pi-descomponibilidad y de la pi-complementación en términos de propio centroide extendido, lo que nos permite determinar la relación de la posible pi-complementación y pi-descomponibilidad de un álgebra con las correspondientes propiedades de su unitización, de su álgebra de multiplicación, sus cocientes y sus ideales respectivamente. Como aplicación probamos que una C* álgebra es acotadamente centralmente cerrada, si y solo si, es pi-complementada. En el quinto capítulo, como consecuencia del pi-Teorema, calculamos el centroide extendido y la clausura central de un ideal complementadamente denso y probamos que la pi-descomponibilidad se hereda para ideales complementadamente densos. Dado que todo ideal un álgebra multiplicativamente semiprima (el álgebra y su álgebra de multiplicación son simultáneamente semiprimas) es complementadamente denso, podemos extender todos los resultados anteriores para un álgebra m.s.p. En el sexto capítulo probamos que las álgebras de Jordan primas degeneradas, construidas por V. G. Skosyrskii, son álgebras multiplicativamente primas (el álgebra y su álgebra de multiplicación son simultáneamente primas). Finalmente en el séptimo capítulo exponemos dos problemas abiertos que nos han surgido de forma natural en el desarrollo de la Memoria. BILBIOGRAFÍA INDISPENSABLE K. I. Beidar, W. S. Martindale 3rd, and A. V. Mikhalev, Rings with Generalized Identities. Marcel Dekker, 1996. J. C. Cabello and M. Cabrera, Structure theory for multiplicatively semiprime algebras. J. Algebra 282 (2004), 386-421. J. C. Cabello, M. Cabrera, and A. Fernández, _-Complemented algebras through pseudocomplemented lattices. Order 29 (2012), 463-479 N. Jacobson, A note on nonassociative algebras. Duke Math.J. 3 (1937), 544-548. Yu. P. Razmyslov, Identities of algebras and their representations. Translations of Math. Monographs, Vol 138. AMS, 1994. V. G. Skosyrskii, Prime Jordan algebras and the Kantor construction. Algebra and Logic 33 (1994), 169-179.