Polynomial inverse integrating factors of quadratic differential systems and other results

Resum

Aquesta tesi està dividida en dues parts diferents. En la primera, estudiam els sistemes quadràtics (sistemes polinomials de grau dos) que tenen un invers de factor integrant polinomial. En la segona, estudiam tres problemes diferents referits als sistemes diferencials polinomials. La primera part En lestudi dels sistemes diferencials plans el coneixement duna integral primera és molt important. Els seus conjunts de nivell estan formats per òrbites i ens permeten dibuixar el retrat de fase del sistema, objectiu principal de la teoria qualitativa de les equacions diferencials al pla. Com ja se sap, existeix una bijecció entre lestudi de les integrals primeres i lestudi dels inversos de factor integrant. De fet, és més senzill lestudi dels inversos de factor integrant que el de les integrals primeres. Una classe és dels sistemes quadràtics àmpliament estudiada dins els sistemes diferencials al pla és la dels sistemes quadràtics. Hi ha més dun miler darticles publicats sobre aquest tipus de sistemes, però encara som lluny de conèixer quins daquests sistemes són integrables, és a dir, si tenen una integral primera. En aquest treball, estudiam els sistemes quadràtics que tenen un invers de factor integrant polinomial V = V(x, y), i per tant també tenen una integral primera, definida allà on no sanul·la. Aquesta classe de sistemes diferencials és important per diferents motius: 1. La integral primera és sempre Darboux. 2. Conté la classe dels sistemes quàdratics homogenis, àmpliament estudiada (Date, Sibirskii, Vulpe...). 3. Conté la classe dels sistemes quàdratics amb un centre, també estudiada (Dulac, Kapteyn, Bautin,...). 4. Conté la classe dels sistemes quàdratics Hamiltonians (Artés, Llibre, Vulpe). 5. Conté la classe dels sistemes quàdratics amb una integral primera polinomial (Chavarriga, García, Llibre, Pérez de Rio, Rodríguez). 6. Conté la classe dels sistemes quàdratics amb una integral primera racional de grau dos (Cairó, Llibre). La segona part Presentam els següents tres articles: 1. A. Ferragut, J. Llibre and A. Mahdi, Polynomial inverse integrating factors for polynomial vector ?elds, to appear in Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2. A. Ferragut, J. Llibre and M.A. Teixeira, Periodic orbits for a class of C(1) threedimensional systems, submitted. 3. A. Ferragut, J. Llibre and M.A. Teixeira, Hyperbolic periodic orbits coming from the bifurcation of a 4-dimensional non-linear center, to appear in Int. J. Of Bifurcation and Chaos. En el primer article donam tres resultats principals. Primer provam que un camp vectorial polinomial que té una integral primera polinomial té un invers de factor integrant polinomial. El segon resultat és un exemple dun camp vectorial polinomial que té una integral primera racional i no té ni una integral primera polinomial ni un invers de factor integrant polinomial. Era un problema obert el fet de sebre si existien camps vectorials polinomials veri?cant aquestes condicions. El tercer resultat és un exemple dun camp vectorial polinomial que té un centre i no té invers de factor integrant polinomial. Un exemple daquest tipus era esperat però desconegut en la literatura. En el segon article estudiam camps vectorials polinomials reversibles de grau quatre en R(3) que tenen, sota certes condicions genèriques, un nombre arbitrari d`orbitesperi`odiques hiperb`oliques. Sense aquestes condicions, tenen un nombre arbitrari dòrbites periòdiques hiperbòliques. Sense aquestes condicions, tenen un nombre arbitrari dòrbites periòdiques. Finalment, en el tercer article, estudiam la pertorbació dun centre de R(4) que prove dun problema de la física. Mitjançant la teoria dels termes mitjans de primer ordre dins els camps vectorials polinomials de grau quatre, el sistema pertorbat pot tenir fins a setze òrbites periòdiques hiperbòliques bifurcant de les òrbites peròdiques del centre.